SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

Senin, 11 Januari 2021

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABA

Assalamualaikum Wr.Wb
Ryan Alfaridzi (32) XI IPS 2

Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.
Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

1. Metode substitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:
$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1$

2. Metode pemfaktoran
Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:
∞, $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , 0 x∞, ∞ – ∞, 00, ∞0, atau ∞∞
maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = \frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{3}{2}$

3. Metode perkalian dengan akar sekawan
Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali substitusi langsung nilai $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to -1}\frac{x +1}{1 - \sqrt{x + 2}} x (\frac{1 + \sqrt{x +2}}{1 + \sqrt{x + 2}}) = \frac{(x + 1)(1 + \sqrt{x+ 2})}{1 - (x + 2)}$
$=\frac{(x + 1)(1+\sqrt{x+2})}{-x - 1} = \frac{(x+1)(1+\sqrt{x+2})}{-(x+1)} = -(1 + \sqrt{x + 2})$
$=-(1 + \sqrt{-(1) + 2}) = -(1 + 1) = -2$
Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:
Membagi dengan pangkat tertinggi
Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ . Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xn berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi f(x) dan g(x). Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan $x\to \infty$ . Contoh:
$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x^2+2} = \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$
Mengalikan bentuk sekawan
Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$ . Metode ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:
$\frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x \to \infty}g(x)}$
kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi dengan pangkat tertinggi. Contoh:
$\lim \limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x - 5 - \sqrt{x^2 -x -2}})$
$=\lim \limits_{n\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x -5 - \sqrt{x^2 - x - 2}})$ $x \frac{(\sqrt{x^2+4x-5 + \sqrt{x^2 - x - 2}})}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$
$= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{((x^2+4x-5) - (x^2-x-2))}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}frac{5x-3}{(\sqrt{x^2+4x-5})+\sqrt{x^2-x-2}}$
Kemudian pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi yaitu x1:
$\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\frac{5x}{x}-\frac{3}{x}}{(\sqrt{\frac{x^2+4x-5}{x^2}}+\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2}})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{5-\frac{3}{x}}{(\sqrt{1+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}+ \sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}})}$
$= \frac{(-0}{(1+1)} = \frac{5}{2}$

Contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasan

Contoh Soal Limit 1

Tentukanlah nilai dari $\lim_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2})$ (UAN 2002)
Pembahasan 1 :
$\lim \limits_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2} - \frac{1}{x-2}) = \lim \limits_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2-4} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)})$ $= \lim \limits_{x\to 2}\frac{(6-x) - (x+2)}{(x-2)(x+2)}$
$=\lim \limits_{x\to 2}\frac{4-2x}{(x-2)(x+2)} = \lim \limits_{x\to 2}\frac{-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$ $= \lim \limits_{x\to 2}\frac{-2}{(x+2)}$
$=-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Konsep Limit Fungsi

Konsep limit fungsi ini adalah hal yang utama harus ditahui sebelum masuk ke materi lanjutan. konsep limit fungsi ini sangat diperlukan dalam mempelajari limit lebih jauh. Penentuan limit suatufungsi di suatu titik c, sangat bergantung pada kedudukan titik c dan domain fungsi tersebut.Dalam pembahasan limit fungsi, yang menjadi domain fungsi adalah himpunan bilangan real dimana fungsi tersebut terdefnisi. Sebuah fungsi f dikatakan mempunyai limit di titik c jika dan hanya jika nilai fungsi untuk x dari kiri dan kanan menuju ke bilangan yang sama. Suatu fungsi f mempunyai nilai limit di titik c, apabila nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan dari fungsi tersebut pada titik c. Tidak semua fungsi mempunyai limit di titik c. Titik c tidak harus anggota domain fungsi, tetapi c anggota himpunan bilangan real.

Untuk lebih memahami limit fungsi, anda dapat melihat contoh soal dan pembahasan limit fungsi pada subbab D.

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L, dan c anggota himpunan bilangan real.
Misalkan f(x), g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan positif, maka

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Dalam menentukan nilai limit fungsi Aljabar, ada beberapa langkah yang harus dilakukan. Berikut adalah Langkah-langkah menentukan nilai limit fungsi aljabar.

Substitusikan x = c ke fungsi f(x) sehingga diperoleh f(c) = L. (L = nilai tentu).
Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari beberapa titik pendekatan, dan memfaktorkan.
(Manullang dkk., 2017)

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar

Untuk lebih memahami limit fungsi, perhatikanlah contoh soal dan pembahasan limit fungsi berikut ini.

DAFTAR PUSTAKA

https://rumusrumus.com/limit-fungsi-aljabar/
https://tambahpinter.com/limit-fungsi/

Minggu, 06 Desember 2020

REMED PAS Ryan Alfaridzi (32) XI IPS 2

Nama : Ryan Alfaridzi (32)

Kls : X IPS 2

Assalamualaikum warohmatullahi wabarakatuh dibawah adalah soal remed pas sesuai absen.

32. • refleksi thd sb x

x' = x

y' = -y

Bayangan

y = x² + 3x + 3

-y' = x'² + 3x' + 3

y = -x² - 3x - 3

• lanjut dilatasi [O, 4]

x' = 4x → x = 1/4 x'

y' = 4y → y = 1/4 y'

Bayangan akhir

y = -x² - 3x - 3

1/4 y' = -(1/4 x')² - 3(1/4 x') - 3

1/4 y = -1/16 x² - 3/4 x - 3

Kedua ruas kalikan 4

y = -1/4 x² - 3x - 12 ✔

Minggu, 15 November 2020

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Pengertian Bunga

Bunga adalah selisih antara jumlah nominal uang yang dipinjamkan oleh pemilik modal dengan jumlah yang dikembalikan oleh pemakai modal berdasarkan kesepakatan bersama. Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase). Terdapat dua jenis bunga, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

Jenis – Jenis Bunga

Berikut ini adalah jenis – jenis bunga berdasarkan besarnya bunga yang dibayarkan pada setiap periode:

Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang dibayar pada setiap periode dengan besaran tetap. Besarnya bunga tunggal dihitung berdasarkan perhitungan modal awal.

Rumus :

Mn = Modal pada akhir periode

M0 = Modal awal

n = periode

b = presentase

Contoh

Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

$M_n = 1.000.000 (1 + 5 \times \frac{2}{100}) = Rp1.100.000$

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.

Rumus =

Contoh

diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar $2 \%$ per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah

Bunga Anunitas

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri.

Contoh

Pada tanggal 1 januari bu rani meminjam uang di koperasi sebesar Rp 2.000.000,00. pinjaman itu akan dilunasi dengan 4 kali angsuran. Suku bunga 12% setahun setiap 3 bulan. Tentukan besar anuitasnya

Diket :

M = 2.000.000

i = 12% = 0,12

n = 4

Ditanya : A = ?

Jawab :

𝐴 = 𝑀. 𝑖 /1 − ( 1 + 𝑖) −𝑛

𝐴 = 2.000.000 𝑥 0,12/ 1 − ( 1 + 0,12) −4

𝐴 = 240.000 /1 − ( 1,12) −4

𝐴 = 240.000 /0,36448 = 658472,344

Jadi anuitasnya Rp 658.472,34

Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh pertumbuhan yaitu perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear:

$P_n = P_0 (1 + n_b)$

Rumus pertumbuhan eksponensial:

$P_n = P_0 (1 + b)^n$

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat pertumbuhan
$n =$ banyaknya periode pertumbuhan

Contoh:

Banyaknya bakteri pada satu telapak tangan yang kotor meningkat 2% secara eksponensial setiap satu jam sekali. Saat ini, terdapat bakteri sebanyak 150.000 pada sebuah telapak tangan. Hitunglah banyaknya bakteri setelah satu jam kemudian!

Jawab:

$P_0 = 150.000$
$b = 2% = 0.02$
$n = 1$ jam

Banyaknya bakteri setelah satu jam:

$P_n = P_0 (1 + b)^n$
$P_1 = 150.000 (1 + 0.02)^1$
$P_1 = 150.000 (1.02)^1$
$P_1 = 153.000$ bakteri

Peluruhan

Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya yang mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Contoh dari peluruhan yaitu peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear:

$P_n = P_0 (1 - n_b)$

Rumus peluruhan eksponensial:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat peluruhan
$n =$ banyaknya periode peluruhan

Contoh:

Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut sebanyak 5% dari ukuran sebelumnya setiap 6 jam secara eksponensial. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

$P_0 = 100 gram$
$b = 5% = 0.05$
$n = \frac{24}{6} = 4$

Ukuran bahan radioaktif setelah 1 hari:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$
$P_4 = 100 (1 - 0.05)^4$
$P_4 = 100 (0.95)^4$
$P_4 = 100 (0.8145)$
$P_4 = 81.45$

Penyusutan

Penyusutan atau depresiasi adalah pengurangan nilai dari harta tetap terhadap nilai buku atau nilai beli awalnya. Penyusutan dilakukan secara berkala dalam rangka pembebanan biaya pada pendapatan, baik atas penggunaan harta tersebut maupun karena sudah tidak memadai lagi.

Jika harga sebuah barang pada saat dibeli adalah $M_0$ dan mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari harga belinya, maka nilai barang pada akhir tahun ke-n adalah :

$M_n = M_0(1 - np)$

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut harganya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

$M_n = 100.000.000(1 - 5 \times 0.1) = 50.000.000$

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI

Senin, 11 Januari 2021

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABA

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.
Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:
$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1$

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = \frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{3}{2}$

Untuk lebih memahami limit fungsi, anda dapat melihat contoh soal dan pembahasan limit fungsi pada subbab D.

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L, dan c anggota himpunan bilangan real.
Misalkan f(x), g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan positif, maka

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Substitusikan x = c ke fungsi f(x) sehingga diperoleh f(c) = L. (L = nilai tentu).
Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari beberapa titik pendekatan, dan memfaktorkan.
(Manullang dkk., 2017)

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar

Untuk lebih memahami limit fungsi, perhatikanlah contoh soal dan pembahasan limit fungsi berikut ini.

DAFTAR PUSTAKA

https://rumusrumus.com/limit-fungsi-aljabar/
https://tambahpinter.com/limit-fungsi/

Minggu, 06 Desember 2020

REMED PAS Ryan Alfaridzi (32) XI IPS 2

Minggu, 15 November 2020

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Jenis – Jenis Bunga

Bunga Tunggal

Bunga Majemuk

Bunga Anunitas

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri.

Pertumbuhan

Peluruhan

Penyusutan

SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Total Tayangan Halaman

Senin, 11 Januari 2021

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABA

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:

Tentukanlah nilai dari (UAN 2002)Pembahasan 1 :

Untuk lebih memahami limit fungsi, anda dapat melihat contoh soal dan pembahasan limit fungsi pada subbab D.

Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L, dan c anggota himpunan bilangan real.Misalkan f(x), g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan positif, maka

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Substitusikan x = c ke fungsi f(x) sehingga diperoleh f(c) = L. (L = nilai tentu).Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari beberapa titik pendekatan, dan memfaktorkan.(Manullang dkk., 2017)

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar

Untuk lebih memahami limit fungsi, perhatikanlah contoh soal dan pembahasan limit fungsi berikut ini.DAFTAR PUSTAKA

https://rumusrumus.com/limit-fungsi-aljabar/https://tambahpinter.com/limit-fungsi/

Minggu, 06 Desember 2020

REMED PAS Ryan Alfaridzi (32) XI IPS 2

Minggu, 15 November 2020

PERTUMBUHAN, BUNGA TUNGGAL, BUNGA MAJEMUK, BUNGA ANUITAS, PELURUH DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Jenis – Jenis Bunga

Bunga Tunggal

Bunga Majemuk

Bunga Anunitas

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri.

Pertumbuhan

Peluruhan

Penyusutan

SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.
Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:
$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1$

Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L, dan c anggota himpunan bilangan real.
Misalkan f(x), g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan positif, maka

Substitusikan x = c ke fungsi f(x) sehingga diperoleh f(c) = L. (L = nilai tentu).
Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari beberapa titik pendekatan, dan memfaktorkan.
(Manullang dkk., 2017)

Untuk lebih memahami limit fungsi, perhatikanlah contoh soal dan pembahasan limit fungsi berikut ini.

DAFTAR PUSTAKA

https://rumusrumus.com/limit-fungsi-aljabar/
https://tambahpinter.com/limit-fungsi/