SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Ryan Alfaridzi (32)

Kelas : XI IPS 2 

 Sifat-Sifat Limit 

1. lim x →a c = c

Contoh: tentukan nilai lim x →2⁷

Jawab:

Diketahui:

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c = c, maka :

lim x →2⁷ = 7

Jadi nilai dari lim x →2⁷ adalah 7

2. lim x →a xn = an

Contoh: tentukan nilai lim x →2 x³

Jawab:

Diketahui:

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a xn = an , maka :

lim x →2 x³ = 2³

lim x →2 x³ = 8

Jadi nilai dari lim x →2 x³ adalah 8

3. lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x)

Contoh: Tentukan nilai lim x →2^4( x + 2 )

Jawab:

Diketahui:

a = 2 

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a c f(x) = c lim x →a f(x), maka :

lim x →2^4(x + 2) = 4 (lim x →2^( 2 + 2 ))

lim x →2^4(x + 2) = 4 (lim x →2^4)

lim x →2^4(x + 2) = 16

Jadi nilai lim x →2^4( x + 2 ) adalah 16

4. lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x)

Contoh: Tentukan nilai lim x →2 (x³ + x⁴)

Jawab:

Diketahui:

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) + g(x)) = lim x →a f(x) + lim x →a g(x), maka :

lim x →2(x³ + x⁴) = lim x →2^x³ + lim x →a x⁴

lim x →2(x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim x →2(x³ + x⁴) = 8 + 16

lim x →2(x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai dari lim x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x)

Contoh: Tentukan nilai lim x →2 (x³ . x⁴)

Jawab:

Diketahui:

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a ( f(x) x g(x)) = lim x →a f(x) x lim x →a g(x), maka :

lim x →2 (x³ . x⁴) = lim x →2 x³ . lim x →2 x⁴

lim x →2 (x³ . x⁴) = 2³ . 2⁴

lim x →2 (x³ . x⁴) = 8 . 16

lim x →2 (x³ . x⁴) = 128

Jadi nilai dari lim x →2 (x³ . x⁴) adalah 128

6. lim x →a f(x)/g(x) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x))

Contoh: Tentukan nilai lim x →2 (x⁴ / x³)

Jawab: 

Diketahui:

a = 2

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus limx →a ( f(x)/g(x)) = (lim x →a f(x))/(lim x →a g(x)), maka :

lim x →2 ( x⁴/x³) = (lim x →2 x⁴)/(lim x →2 x³)

lim x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim x →2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim x →2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. lim x →a f(x)n = (lim x →a f(x))n

Contoh: Tentukan nilai lim x →2 ( x⁴ + 1)²

Jawab:

Diketahui:

a = 2

f(x) = x⁴+ 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a  f(x)n = (lim x →a f(x))n, Maka :

lim x →2 (x⁴ + 1)² = (lim x →2 x⁴ + 1)²

lim x →2 (x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim x →2 (x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim x →2 (x⁴ + 1)² = 17²

lim x →2 (x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim x →2 (x⁴ + 1)² adalah 289

8. lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x)

Contoh: Tentukan nilai lim x →2²√x4

Jawab:

Diketahui:

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim x →a n√ f(x) = n√lim x →a f(x), maka :

lim x →2²√x⁴ = ²√lim x →2 x4

lim x →2²√x⁴ = ²√24

lim x →2²√x⁴ = ²√16

lim x →2²√x⁴ = 4

Ada tiga cara menentukan limit fungsi aljabar, diantaranya adalah :

1. Manantukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi
2. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran
3. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengkalikan Faktor Sekawan

1. Manantukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi

Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap x bilangan real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya. Untuk memperoleh nilai limitnya, teman-teman dapat mensubstitusikannya secara langsung kedalam fungsi tersebut.

Perhatikan contoh berikut :

Tentukan nilai lim _x →2 (2x - 7) !!!!

Jawab :

Untuk menjawab soal di atas kita dapat menggunakan cara substitusi x → 2 dengan cara memasukan 2 ke dalam x, Maka :

lim _x →2 (2x - 7) = 2(2) - 7

lim _x →2 (2x - 7) = 4 - 7

lim _x →2 (2x - 7) = -3

Jadi nilai dari lim _x →2 (2x - 7) adalah -3

2. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran

Cara pemfaktoran ini dilakukan jika nilai limit dari satu fungsi bernilai tidak terdefinisi, misalkan 0/0 dan yang lainnya. Untuk proses pemfaktorannya sama seperti proses faktorisasi bentuk aljabar,

Perhatikan contoh berikut :

Tentukan nilai lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) !!

Jawab :

Untuk menjawab soal seperti ini kita harus memfaktorkan dahulu karena jika langsung melakukan substitusi hasilnya akan tidak terdefinisikan. Maka :

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = ((x - 4)(x + 4))/(x - 4), karena (x - 4) bisa dieliminasi atau dicoret maka hasilnya :

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = x + 4

Setelah dilakukan pemfaktoran dan kemudian lebih disederhanakan lagi, maka selanjutnya kita tinggal substitusikan 4 kedalam x. Maka :

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = 4 + 4

lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) = 8

Jadi nilai dari lim _x →4 (x² - 16)/(x-4) adalah 8.

3. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengkalikan Faktor Sekawan

Cara menentukan nilai limit dengan cara mengalikan faktor sekawan ini digunakan jika nilai yang akan ditentukan limitnya berbentuk bilangan pecahan yang memiliki bilangan bentuk akar misalkan √2 - √3. Maka pada intinya mengalikan faktor sekawan ini adalah menghilangkan bentuk akar. Jadi proses pengkaliannya adalah kalikan bilangan akar dengan bilangan akar yang ada sehingga bilangan akarnya akan berubah bentuk menjadi bilangan bukan bentuk akar. Wajib diingat bahwa cara ini hanya digunakan pada bentuk pecahan yang memiliki bentuk akar saja dan apabila nilai yang akan menjadi pengali faktor sekawan ada yang bernilai negatif maka harus diubah menjadi positif.

Misalkan :

√x - a diubah menjadi √x + a 

√x - √a diubah menjadi √x + √a
√x - √(a - b) diubah menjadi √x + √(a - b)

Satu lagi perlu dingat bahwa pengalinya harus bernilai 1 atau jika a yang akan menjadi pengali maka pengalinya harus a/a.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut :

Contoh :

Tentukan nilai lim _x →1 (√x - √(2x -1))/( x -1 ) !!!!!

Jawab :

Untuk menjawab soal seperti ini pertama lihat dulu ada di sebelah mana kah yang ada bilangan akarnya, apakah di sebelah penyebut atau di sebelah pembilang. Nah pada soal diatas ternyata bilangan akarnya ada disebelah pembilang, maka kita akan mengkalikan pembilang (√x - √(2x -1)) dengan (√x - √(2x -1))/( x -1 ), namun penyebut yang akan digunakan sebagai pengali harus diubah dulu jika ada bilangan negativenya menjadi bilangan positive, Maka :

(√x - √(2x -1)) diubah menjadi (√x + √(2x -1))

Maka sekarang kalikan (√x + √(2x -1)) dalam bentuk pecahan yang bernilai satu atau artinya (√x + √(2x -1))/(√x + √(2x -1)) dengan (√x - √(2x -1))/( x -1 ). Maka :

Contoh Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Limit

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan sesaat (instantaenous velocity) yang dirumuskan dengan 

v (t) = t2 $\mathrm{-\; t}$ dengan $v\left(t\right)$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Jika $t$ mendekati $5$ detik, maka kecepatan mobil tersebut adalah $\cdots$ m/detik.

Jawab : 

Secara matematis, kecepatan mobil saat $t$ mendekati detik ke-$5$ adalah $\underset{x\to 5}{lim}v\left(t\right)$.
Diketahui $v\left(t\right)=t^2-t$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{array}{cc}\underset{x\to 5}{lim}(t^2-t)& =(5{)}^2-(5)\\ & =25-5=20\end{array}$
Jadi, kecepatan mobil akan mendekati $20$ m/detik.

2. Angka pertumbuhan penduduk setiap tahun dirumuskan dengan 

$p\left(t\right)=\sqrt{\frac{1}{2}{t}^2-3t+5}$ dengan $p\left(t\right)$ dalam persen dan $t$ dalam tahun. Pertumbuhan penduduk mendekati tahun kelima $(t=5)$ adalah $\cdots \%$.

Jawab :

Secara matematis, angka pertumbuhan penduduk saat $t$ mendekati tahun ke-$5$ adalah $\underset{t\to 5}{lim}p\left(t\right)$.
Diketahui $p\left(t\right)=\sqrt{\frac{1}{2}{t}^2-3t+5}$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{array}{cc}\underset{t\to 5}{lim}\sqrt{\frac{1}{2}{t}^2-3t+5}& =\sqrt{\frac{1}{2}(5{)}^2-3(5)+5}\\ & =\sqrt{\frac{25}{2}-10}\\ & =\sqrt{12,5-10}\\ & =\sqrt{2,5}\end{array}$
Jadi, angka pertumbuhan penduduk akan mendekati $\sqrt{2,5\%}$

3. Tiga anak (sebut nama mereka: Ani, Budi dan Candra) sedang bermain tebak angka. Ani memberikan pertanyaan dan kedua temannya akan berlomba memberikan jawaban yang terbaik. Perhatikanlah percakapan mereka berikut.

Jawab :

Kedua teman Ani berlomba memberikan jawaban bilangan terdekat ke 3, seperti pada Gambar 10.4. Pada awalnya Budi dan Candra mengambil bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan sehingga mereka menjawab 2 dan 4. Ternyata masih ada bilangan real lain yang terdekat ke 3, sehingga Budi harus memberi bilangan yang lebih dekat lagi ke 3 dari kiri, maka Budi menyebut 2,5.

Hal ini membuat Candra ikut bersaing untuk mencari bilangan lain, sehingga ia menjawab 3,5. Demikianlah mereka terus-menerus memberikan jawaban sebanyak mungkin sampai akhirnya mereka menyerah untuk mendapatkan bilangan-bilangan terdekat ke-3.

Berdasarkan pemahaman kasus ini, ternyata ketidakmampuan teman-teman Ani untuk menyebutkan semua bilangan tersebut telah membuktikan bahwa begitu banyak bilangan real di antara bilangan real lainnya. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan jawaban-jawaban Budi dan Candra maka x akan disebut bilangan yang mendekati 3 (secara matematika, dituliskan x → 3)

 sekiain dan  terima kasih