PEMBUKTIAN: LANGSUNG, TAK LANGSUNG,
KONTRADIKSI, INDUKSI MATEMATIKA
Apa itu Pembuktian? Nah didalam Matematika ada beberapa cara untuk melakukan pembuktian atau bisa disebut juga membuktikan. Diantaranya yaitu:
a. Pembuktian langsung
b. Tak langsung
c. Kontradiksi
d. Induksi
Nah berikut ini adalah penjelasannya
1. PEMBUKTIAN LANGSUNG
Bukti langsung adalah salah satu cara pembuktian sifat atau teorema matematika dengan penarikan kesimpulan dengan memanfaatkan silogisme, modus ponens dan modus tollens. Secara logika pembuktian q benar secara langsung atau ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan q benar dimana diketahui p benar
Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan.
Contoh: Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.
Bukti:
Diketahui bahwa n bilangan ganjil maka dapat dituliskanbahwa n = 2k+1 dengan k bilangan bulat
sehingga n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2)+1
Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² adalah bilangan ganjil
Bukti:
Diketahui bahwa n bilangan ganjil maka dapat dituliskanbahwa n = 2k+1 dengan k bilangan bulat
sehingga n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2)+1
Bentuk 2(2k²+2k)+1 adalah bilangan ganjil
Jadi, n² adalah bilangan ganjil
2. PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG
Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum)yang dibahas ada 2 cara yaitu :
Pembuktian tidak langsung atau kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi
Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p
Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan
kebenaran ~q → ~p
contoh: buktikan bahwa “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.
KONTRADIKSI
Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
Contoh: Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n2 ganjil, maka n ganjil”.
Bukti:
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.
Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.
Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2
Ini menunjukkan bahwa n2 = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
Bukti:
Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.
Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.
Dengan demikian maka n2 = (2k)2 atau n2 = 4k2
Ini menunjukkan bahwa n2 = bilangan bulat genap (~p)
Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
C. Induksi Matematika
adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
Prinsip Induksi Matematika:
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.
adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
Prinsip Induksi Matematika:
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.
Misalnya: Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan
asli n”.
Bukti: Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2
P(1) benar, sebab 1 = 1
Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
Sehingga P(k+1) benar
Demikian pembahasaan Matematika saya Assalamualaikum wr.wb
Tidak ada komentar:
Posting Komentar