Assalamualaikum Wr. Wb.
Perkenalkan nama saya Ryan Alfaridzi, absen 33, dari kelas X IPS 2.
1. Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!
Penyelesaian:
36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik
36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik
Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.
2. Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
3. Segitiga KLM memiliki koordinat K(−5,−2),L(3,−2), dan M(−5,4). Nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah?
Pembahasan :
Pertama sketsakan segitiga KLM pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Tampak bahwa segitiga KLM merupakan segitiga siku-siku (di L).
Dari gambar di atas, diketahui bahwa
KL=3−(−5)=8;KM=4−(−2)=6
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
LM=√KL2+KM2=√82+62=√64+36=√100=10
Untuk itu,
cosL=KLLM=810=45tanM=KLKM=86=43
Jadi, nilai cos L dan tan M berturut-turut adalah 45 dan 43.
4. Besar sudut yang sesuai dengan gambar di bawah adalah?
Pembahasan :
Sudut yang terbentuk searah dengan jarum jam, sehingga tandanya negatif, yakni −30∘.
Karena satu putaran sama dengan 360∘, maka −30∘ sama dengan (360−30)∘=330∘
Jadi, besar sudutnya adalah 330∘
5. Jika (f o g) (x) = x + 4, dan g(x) = x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f(x).
Pembahasan :
(f o g) (x) = x + 4
f(g(x)) = x + 4
f(x – 2) = x + 4
Misal u = x – 2, maka x = u + 2, sehingga
f(x – 2) = x + 4
f(u) = u + 2 + 4
f(u) = u + 6
f(x) = x + 6
y = x + 6
x = y – 6
f-1(x) = x – 6
Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah f-1(x) = x – 6.
6. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 153°
sin 243°
cos 333°
Pembahasan :
Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.
tan 153° = tan (180° − 27°)
= -tan 27°
Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 243° = sin (270° − 27°)
= -cos 27°
Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 333° = cos (360° − 27°)
=cos 27°
7. Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘.
Pembahasan :
sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°
Jadi :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1
8. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0° < x ≤ 360.
Pembahasan :
cos 2x = 1/2
cos 2x = cos 60
Maka :
2x = 60 + k.360
x = 30 + k.180
Untuk k = 0
maka x = 30 + (0)180 = 30
Untuk k = 1
maka x = 30 + (1)180 = 210
dan 2x = –60 + k.360
x = –30 + k.180
Untuk k = 1
maka x = –30 + (1)180 = 150
Untuk k = 2
maka x = –30 + (2)180 = 330
Jadi H adalah { 30, 150 , 210 , 330 }
9. untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius
Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah?
Pembahasan :
koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius
(r , α) ⇒ ( x , y )
r = 6√3 ; α = 60°
(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)
x = r cos α
⇒ 6√3 x cos 60°
⇒ 6√3 x 1/2
⇒ 3√3
y = r sin α
⇒ 6√3 x sin 60°
⇒ 6√3 x 1/2 √3
⇒ 3 x 3
⇒ 9
sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)
10. Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah?
Pembahasan :
Perhatikan ilustrasi berikut.
Contoh Soal UN Perbandingan Trigonometri
Jadi, tinggi menara adalah
\[ = 80 \cdot tan30^{o} + 1,5 \]
\[ = 80 \cdot \frac{1}{3} \sqrt{3} + 1,5 \]
\[ = \left( \frac{80}{3} \sqrt{3} + 1,5 \right) \textrm{m} \]
10. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!
Pembahasan:
Jarak = kecepatan x waktu
Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km
Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km
Perhatikan gambar terlampir.
Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°
Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC
AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]
AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]
AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]
AC² = 28.900 - 12.000
AC = √ 16.900
Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km
11. Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….
Pembahasan:
Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.
\[ L = \frac{1}{2} \times 18 \times 16 \times sin \; 60^{o} \]
\[ L = \frac{1}{2} \times 18 \times 16 \times \frac{1}{2} \sqrt{3} \]
\[ L = 72 \sqrt{3} \; \textrm{m}^{2} \]
12. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B.
Pembahasan :
Akan dicari besar sudut B
sin B = (b sin A)/a
sin B = 8/6 sin 30̊
sin B = 2/3
B = arc sin B
B = arc sin (2/3)
B = 41,8̊
Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊
13. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46o, maka tentukan panjang sisi b.
Pembahasan :
Dik : a = 10 cm, ∠B = 46o, c = 12 cm
Dit : b = ... ?
Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
⇒ b2 = 102 + 122 − 2(10)(12) cos 46o
⇒ b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)
⇒ b2 = 244 − 166,7
⇒ b2 = 77,3
⇒ b = 8,8 cm
Jadi, panjang sisi b yaitu 8,8 cm.
14. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah?
Pembahasan :
Pembahasan
Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)= y = a sin k(x−c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x =−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x =3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.
Dengan demikian,
k = 2π Periode = 2π
2π =1
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)
15. Grafik f(x)=2cosx memotong sumbu-X di titik berkoordinat ?
Pembahasan :
Apabila grafik memotong sumbu-X, maka nilai f(x)=y=0. Dengan demikian,
f(x)=2cosx⇒0=2cosx⇔cosx=0
Nilai x yang membuat cosx bernilai 0 adalah 90∘.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat (90∘,0
16. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi
f(x) = 8\sin (x+\frac{3\pi}{2}) \cos x
Pembahasan :
Gunakan :2\sin a \cos \beta = \sin(a + \beta) + \sin (a - \beta)
f(x) = 8\sin(x+\frac{3\pi}{2}) \cos xf(x) = 4 \times 2\sin(x+\frac{3\pi}{2}) \cos x
f(x) = 4(\sin(x+\frac{3\pi}{2} - x))
f(x) = 4(\sin(2x+\frac{3\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) = 4(\sin(2x+\frac{3\pi}{2}) - 1)
f(x) = 4\sin (2x+\frac{3\pi}{2}) - 4
Sehingga :
Untuk sin(2x +\frac{3\pi}{2}) = 1, maka f_{maks} = 4(1) - 4 = 0
Untuk sin(2x+\frac{3\pi}{2}) = -1, maka f_{min} = 4(-1) - 4 = -8
17. Andi berdiri tegak pada jarak 10√3 m dari kaki sebuah pohon besar yang tumbuh gerak lurus. Jika tinggi Andi 1,6 m dan melihat ke puncak pohon dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi pohon tersebut?
Pembahasan :
tan 60⁰ = x / 10√3
√3 = x / 10√3
x = √3 . 10√3
x = 30
Jadi tinggi pohon adalah
= x + tinggi Andi
= 30 m + 1,6 m
= 31,6 m
18. Dalam suatu lingkaran berjari-jari 10 cm, dibuat segi – 8 beraturan. Panjang sisi segi – 8 tersebut adalah?
Pembahasan :
Untuk mencari panjang sisi segi delapan, kita perlu mengetahui besar sudut puncak segitiga pada segi delapan, yaitu:
\[ = \frac{360^{0}}{8} = 45^{o} \]
Selanjutnya, untuk menentukan panjang sisi segi delapan dapat digunakan persamaan pada aturan cosinus.
\[ AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cos 45^{o} \]
\[ AB^{2} = 10^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 45^{0} \]
\[ AB^{2} = 100 + 100 - 2 \cdot 100 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \]
\[ AB^{2} = 200 - 100 \sqrt{2} \]
\[ AB = \sqrt{200 - 100 \sqrt{2}} \]
\[ AB = \sqrt{ 100 \left( 2 - \sqrt{2}\right)} \]
19. Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !
Jawab :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)
Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18
20.Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°
Jawab :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°
Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
